Reglas derivadas.

Sevilla 31 de Marzo del 2011
Hoy al empezar la clase el profesor escribió en la pizarra las siguientes reglas derivadas:

Y nos dijo como podíamos emplear cada una de ellas.

Por último pasamos a hacer ejercicios de cálculo de deducción natural.

David Guerra Sancho.

REGLAS BASICAS

Hoy en clase hemos dado las 3 últimas reglas basicas que son 3:

Ri ->

| x
| y
------
x->y


Ri ¬

|x
|y^¬y
-------
¬y


x^^ y

|x
|z

|y
|z
------
z


*^^ = contrario de ^

Tambien hicimos algunos ejercicios:

|- ¬t

1.P-> ¬q
2.q^r
3.q->p

|4.t
|5.q(Re^2)
|6.p(Re->3,5)
|7.¬q(Re->1,6)
|8.q^¬q(Ri^5,7)
9.¬t(Ri¬4,8)



|- ¬p

1.p->¬q
2.q^r
3.q->p
|4.p
|5.¬s(Re^3)
|6.q(Re^3)
|7.p^q(Ri4,6)
|8.r(Re->1,7)
|9.s(Re ->2,8)
|10.Si ¬s(Ri^5,9)
11.¬p(Ri¬4,10)

Y le hemos cantado el cumpleaños feliz a Sharon.



Jorge García Domínguez

Viernes, 25 de Marzo 2011

Hoy hemos corregido una actividad de cálculo deductivo, que es la siguiente:

-p ^ q

1. r->p

2.r->q

3.r^t

4. r RE ^3

5.p RE->1,4

6.q RE->2,4

7.p^q RI 5,6

El antecedente no se elimina, las que se eliminan son las conectivas.

Hemos explicado las reglas de introducción del condicionador y de introducción del negador.

• Regla de introducción del condicionador:

X

Y

------

X->Y

Un ejemplo es el siguiente:

-p->t

1.q^r premisa

2.r->t premisa

3.p

4.r RE^1

5.t RE->2,4

6.p->t RI->3-5

Siempre que queramos derivar un enunciado condicionador debemos abrir una hipótesis con el antecedente e intentar llegar al consecuente.

Las hipótesis hay que abrirlas cuando sean necesarias y cuando sepamos como vamos a cerrarlas.

• Regla de introducción del negador:

X

Y^¬X

--------

¬X

Un ejemplo es el siguiente:

¬p

1.p->¬r

2.t^s

3.t->r

4.p

5.t RE^2

6.r RE->3,5

7.¬r RE->1,4

8.¬^¬r RE^6,7

9.¬p RE ¬ 4-8

Siempre que tengamos algo afirmado y negado, cerramos la hipótesis.

• Regla de eliminación del disyuntor:

X

Z

Y

Z

-----

Z

Cristina Medina Carranco.

Hoy hemos retomado la clase con lo que estuvimos viendo el día anterior, la derivación.
La derivación es el proceso que sirve para averiguar si una inferencia es formalmente válida o no. Una inferencia es una “operación lógica” que consiste en, a partir de unas premisas dadas, obtener una conclusión.

Para aclarar un poco lo que viene a ser derivación, hemos resuelto un ejemplo de dos maneras distintas:

p ^ q
r ^ t
t -> s ├ p v q *├: Derivación
_________
s v q

Para hacer una derivación hay que seguir los siguientes pasos: Primero hemos de establecer las premisas que tenemos y una vez hecho, procedemos a la resolución gracias a la ayuda de las reglas de derivación.

1ª solución:

1. p ^ q premisa
2. r ^ t premisa
3. t -> s premisa
4. q R E ^ 1
5. s v q R I v 4

2ª solución:

1. p ^ q premisa
2. r ^ t premisa
3. t -> s premisa
4. t R E ^ 2
5. s R E -> 3, 4
6. s v q R I v 5

Una derivación puede resolverse de muchas formas, cuanto más simple, mejor.

Por último, el profesor ha explicado la regla de introducción del doble condicionador:

R I <->

X -> Y
y -> X
________
X <-> Y

Sólo en el condicionador, el orden de los factores SÍ altera el producto, mientras que en el resto de las conectivas, no.





Mónica Zhang Sun.

CÁLCULO DE DEDUCCIÓN NATURAL

Hoy el profesor ha comenzado la clase repartiendo los exámenes de los temas 5, 6 y 8. Durante la primera mitad de la clase nos dedicamos a revisar los exámenes y a responder las dudas de los compañeros con respecto a este. Una vez contestadas todas las preguntas el profesor empezó a explicar el Cálculo de Deducción Natural (C.D.N).

El cálculo es el proceso o mecanismo de decisión mediante el cual podemos saber cuándo una inferencia es válida. La operación fundamental del cálculo es la derivación que consiste en que, dadas unas premisas y una conclusión, podamos llegar mediante un procedimiento algorítmico (serie finita de pasos ordenados) a dicha conclusión.

El C.D.N utiliza el mismo lenguaje formal que las tablas de verdad pero además, se añade un conjunto de reglas de transformación de fórmulas que nos permiten transformar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación que resultará igualmente bien construida.

Un ejemplo de regla básica es la regla de introducción del disyuntor (R.I. v): si sabemos que un término es verdadero, entonces podemos decir que o bien se da ese término u otro.

X àPremisa

____ àBarra de inferencia

X v Y à Conclusión

EJEMPLO DE INFERENCIA

p^q

r^s

_____

r v t

¿Cómo se hace la derivación?

1. p^q

2. r^s

3. r : R.E. ^ (Regla de eliminación del conjuntor). Línea 2.

4. r v t : R.I. v (Regla de introducción del disyuntor). Línea 3.

Celia Vilches Ocaña 1º Bach. D

Martes, 22 de Marzo

Hoy hemos invertido todo el tiempo de la clase trabajando los ejercicios de formalización de enunciados ( pinchar aquí ).

Trataban de determinar el tipo de enunciado ( tautológico, indeterminado o contradictorio ) mediante la elaboración de la tabla de verdad.

Rubén Suárez Mtz.

MARTES 22 MARZO

El profesor ha empezado la clase con un ejercicio de tabla de verdad, que ha explicado que la proposición que va antes del conector ser llama antecedente y la proposición que va después es la consecuencia. El ejercicio era el siguiente:
[[(p ^ q) --> r]^ [(r --> s) ^ (q ^¬ s)]] --> r
El enunciado era tautológico, ya que, el resultado salía verdadero.
El profesor ha empezado a explicar qué es el cálculo de deducción natural (CDN). El CDN consiste en pasar de las premisas a la conclusión, opera con una derivación, que mediante una serie de pasos correctamente formalizados nos lleva a la conclusión.
ESQUEMA DE INFERENCIA
p^q --> premisa
r^s --> premisa
__ --> barra de inferencia
p^s -->conclusión
El profesorha explicado la regla de eliminación y de introducción del conjuntor con el ejemplo p^q; r^s;T("tumbado" hacia el lado izquierdo, es el simbolo de la derivación)p^s
Los pasos para realizar correctamente las reglas son:
1. Se coloca la primera premisa p^q pr(por premisa).
2. Se coloca la segunda premisa r^s pr.
3. p regla de eliminación(RE)^ en la línea 1.
4. s Regla de eliminación(RE)^ en la línea 2.
5. p^s Regla de introducción^ en las líneas 3;4.
Por último querría dejar un problema de lógica que no he sabido hacer y es el siguiente:

" Había un tren cuyo personal estaba formado por tres personas: el guardafrenos el fogonero y el maquinista. Sus nombres por orden alfabético, eran Jones, Robinson y Smith. En el tren viajaban también tres pasajeros que tenían los mismos nombres: el señor Jones, el señor Robinson y el señor Smith. Se conocen los siguientes datos:
a. El señor Robinson vive en Detroit.
b. El guardafrenos vive a mitad de camino entre Detroit y Chicago.
c. El señor Jones gana exactamente 20.000 dólares al año.
d. Smith en cierta oportunidad derrotó al fogonero jugando al billar.
e. Un vecino del guardafrenos, que vive en una casa junto a la de éste y es uno de los tres pasajeros mencionados gana exactamente tres veces lo que gana el guardafrenos.
f. El pasajero que vive en Chicago tiene el mismo nombre que el guardafrenos.
¿Cuál es el nombre del maquinista?"

ELENA MONTES PÉREZ.

Viernes, 18 de Marzo.

Hoy nos hemos dedicado la hora entera a corregir los ejercicios mandados sobre el lenguaje formal y la lógica, los cuales los encontramos en la siguiente página:

http://www.box.net/shared/q4x2xr4bvn

Teniamos que señalar que tipo de enunciado que era , si era tautológico, contradictorio o indeterminado según la tabla de la verdad.

Solo tuvimos tiempo para hacer algunos (4,6,9) además de solucionar las dudas expuestas.




Maria Liñán Dueñas 1ºB

DETERMINACIÓN DE ENUNCIADOS

Hoy hemos estado realizando mediante las tablas de verdad la determinación de una serie de enunciados según sean totalmente ciertos o no, en cuyo caso los clasificaremos en:

-Tautología o enunciado tautológico; el cual nos indica que el enunciado es formalmente válido (cuando todos los valores del conector principal son unos, es decir, verdaderos).

-Indeterminación o enunciado indeterminado; según el cual no podemos decir si es formalmente válido o no.

-Contradicción o enunciado contradictorio; cuando no es formalmente válido, todos los valores del conector principal son ceros (son falsos).

Como ya he dicho, para clasificarlos habrá que realizar con anterioridad los cálculos mediante la tabla de verdad ateniéndose a ciertos aspectos como son:

-El número de valores de verdad será igual a dos elevado al número de proposiciones que halla en dicho enunciado (2ⁿ).

-Determinar el rango de las conectivas o nivel de importancia de estas en el enunciado para así comenzar a indicar los valores empezando por los de rango más alto, por los menos importantes.

- La primera proposición a indicar sus valores tendrá la primera mitad verdaderos y la otra mitad falsos, la segunda tendrá la mitad de la mitad verdaderos y la otra mitad de la mitad falsos, y así sucesivamente.

-el negador hará que los valores de la proposición a la que afecta varíen, y que sean justos los contrarios.

Para entender esto mejor analizaremos un enunciado:

[ ( p --> q )_^ (q --> r ] _^ ¬ (p --> r)

^ es de rango 1, el conjuntor que se encuentra entre corchetes y el condicionador que relaciona a p con r son de segundo rango y los dos condicionadores que quedan son de tercer rango, y en este orden los relacionaremos y realizaremos la tabla de valores.

1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1	1
1	0	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1	1	0	0	0	1	1
0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0
p	-->	q	^	q	-->	r	^	¬	p	-->	r

Se trata de un enunciado contradictorio ya que todos los valores finales son 0.

Tomás Sánchez Sánchez

Hoy la clase ha comenzado haciendo un repaso sobre el concepto de Tablas de verdad que vimos el otro día. Hemos hecho en la pizarra los diferentes esquemas pertenecientes a cada conector:

Aquí a continuación dejo dos ejercicios resueltos que hicimos en clase después de la explicación anterior:

Ana León Pedrosa.

Martes 15 de Marzo

Hoy el profesor procedió a explicarnos las Tablas de la verdad tras ver y practicar los conectores lógicos el último día.

La utilidad de las tablas de verdad es analizar los posibles valores de los operadores

lógicos y de los enunciados en los que estos están presentes. Para empezar con algo

muy simple podemos decir que dada una proposición cualquiera "p", ésta sólo puede ser

verdadera o falsa. Al valor "verdadero" lo representamos con un "1", al "falso" con un

"0". Si tomamos el primero de los operadores lógicos, el negador, podemos afirmar que

si "p" es verdadero, "¬p" tiene que ser falso (en efecto, si p= "está lloviendo", ¬p = "no

está lloviendo", donde se puede ver que si la primera es verdadera, la segunda ha de ser

falsa, y viceversa). Podemos formar ya la tabla de verdad más simple, la del negador:

p | ¬ p

----------

1 | 0

0 | 1

El mismo proceso puede seguirse con el resto de operadores lógicos. Por ejemplo el conjuntor (⋀). Este signo tiene el valor "y", por lo tanto un enunciado que contenga un

conjuntor será verdadero (valor "1") cuando las dos proposiciones que lo formen

también lo sean (la conjunción: "hoy es domingo y hace sol" sólo es verdadera si se

cumplen las dos partes del enunciado), y falsa en todos los demás casos. Así obtenemos

la siguiente tabla de verdad:

p | q | p ⋀ q

---------------

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Del mismo modo con los otros operadores:

El disyuntor:

p | q | p ⋁ q

---------------

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

El condicionador:

p | q | p -> q

------------------

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

En el caso del condicionador o implicador, el enunciado sólo puede ser falso si dado

el antecedente (la proposición que está antes del signo de implicación), no se da el

consecuente (la parte que queda detrás del mismo), es decir si en el enunciado p -> q ,

p=1 y q=0.

Usando un ejemplo anterior: "siempre que Pedro va al colegio pasa por delante de

mi casa", puede formalizarse como una implicación: p (Pedro va al colegio) -> q (pasa

por mi casa). Este enunciado sólo es falso si se da p (esto es que Pedro va al colegio) y

no se da q (que pase por mi casa). En todos los demás casos la implicación es correcta

(p. ej., p=0 y q=1, Pedro pasa por mi casa pero no va al colegio, sino a casa de otro

amigo).

A partir de estas tablas básicas podemos desarrollar la de cualquier grupo de

enunciados, sólo con tener en cuenta una serie de reglas:

· que el signo de implicación domina sobre los de la conjunción y disyunción,

· que debe resolverse siempre antes el grupo de proposiciones que se halle entre

paréntesis,

·que si en lugar de con dos variables (p y q) jugamos con tres o más (p, q, r, s...) el

número de combinaciones posibles se incrementa de cuatro (como en las tablas

anteriores) a ocho (con tres variables), a dieciséis (con cuatro)...; la regla general

sobre el número de valores que habrá que dar a la tabla de verdad es 2n, donde “n”

representa el número de variables (por ejemplo, si tenemos que hacer la tabla de

verdad de la expresión “(p -> (q -> r)) -> (r ⋁ s)”, tendríamos que usar 24 valores,

esto es 16, de los cuales 8 serían positivos y ocho negativos).

Con el método de análisis de las tablas de verdad podemos decidir qué tipo de

enunciado es el que tenemos, según los valores de verdad que se obtengan de su

conectiva principal. Si todos los valores son verdaderos, hablaremos de un enunciado

tautológico, si todos son falsos, de uno contradictorio, y si hay de ambos,

indeterminado

Tras esta explicación nos ordenó conseguir los ejercicios de Tablas de Verdad para prácticar en casa y corregir el proximo día.

Javier Jiménez López-Rey

Martes, 15 de Marzo del 2011

Hoy como es normal en nuestra clase tardamos un rato en quedarnos en silencio. Cuando por fin lo conseguimos el profesor le repartió a Ángela unos libros acerca de Miguel Server y el artículo propuesto por el profesor para la revista de Zaragoza. El profesor ha querido ofrecernos una

ayuda para intentar realizar un trabajo lo más curioso posible.

Antes de empezar el profesor nos recordó que teníamos que sacar los apuntes de lógica que se encuentrann este blog, pero por si alguno no lo ha encontrado por algún motivo aquí os dejo un enlace.

http://diariodeclasedefilosofia.blogspot.com/2010/02/apuntes-de-logica.html

Hemos empezando la clase repasando los tres tipos de preposiciones de las cuales hemos resumido para entender mejor los nuevos conceptos, entre los que vamos a ver el lenguaje formal.

Las relaciones posibles entres dos preposiciones son:

• CONDICIONAL --> Si A entonces B

Se tiene que dar A para que B se cumpla.

• CONJUNTIVA --> Si A y B.

No se da A y no se da B o se da A y se da B.

Es decir, se dan A y B, o no se dan ninguna de las dos.

Ejemplos:

- Me gusta cantar y bailar

- No me gusta cantar y no me gusta bailar.

• DISYUNTIVA --> Si A ó B.

La relación disyuntiva puede ser:

- Exclusiva o excluyente.

Puede ser A o puede ser B, pero los dos casos no se pueden dar a la vez.

- Ejemplo:

Enciendes la televisión o enciendes el ordenador.

- Inclusiva o no excluyente.

Puede ser A o puede ser B e incluso pueden ser ambas.

- Ejemplo:

Hoy es viernes o el mundo se acaba hoy.

(Puede ser A o B, es decir, ambas)

- Ejemplo general:

Me gustan los macarrones o me gustan los espaguetis.

(O no te gusta ninguna de las dos cosas, o te gustan las dos cosas, o te gusta una cosa y la otra no).

En unos casos se da uno, en otros se darán los dos y en otros no se dará ninguno.

• También podemos observar otro tipo de relación entre proposiciones, la relación Bicondicional o complicativa.

Si A entonces B

Si B entonces A

____________________

Si y sólo si A entonces B

Ejemplos

- Si un número es par entonces es divisible por 2, si un número es divisible por 2 entonces es par, si y sólo si un número es par entonces es divisible por 2.

- Si un número es impar entonces es divisible por el mismo y por la unidad, si un número es divisible por el mismo y por la unidad entonces es impar, si y sólo si un número es impar entonces es divisible por el mimo y por la unidad.

En la vida cotidiana cualquier condición es reversible y necesitamos haber reflexionado mucho para obtener un ejemplo de bicondicional, por ello hay que ser muy preciso.

• Para analizar las diferentes partes de lenguaje formal deberemos saber interpretar dos tipos de lenguajes:

Los lenguajes naturales es la lengua que ha sido creada por los humanos, y que es transmitida de generación en generación por medio de la enseñanza y el aprendizaje. Los lenguajes naturales se componen de un léxico y de un conjunto de reglas gramaticales que permiten combinar hasta el infinito los elementos de ese léxico. Mientras que los lenguajes artificiales son aquellos diseñados por los científicos, a fin de poder formular con precisión las relaciones entre los elementos o fenómenos estudiados en las distintas ciencias. Los lenguajes artificiales son prolongaciones del lenguaje natural en beneficio de la ciencia.

Además, a partir de los lenguajes artificiales podemos observar dos tipos de lenguajes:

El lenguaje formalizado, es el resultado de aplicar un lenguaje formal a un lenguaje natural.

El lenguaje formal, es un lenguaje simple creado por los científicos para utilizarlo en la lógica y las matemáticas, ya que el lenguaje natural es demasiado complejo. El lenguaje formal esta compuesto por:

1. - Elementos que que simbolizan las preposiciones del lenguaje natural y que se denominan variables lógicas.

Letras minúsculas del alfabeto que representan las proposiciones (p, q, r, s, t, u….).

Las proposiciones son fragmentos del lenguaje natural que tienen sentido sintáctico.

• Elementos (serie de signos) denominados operadores lógicos que nos permitan unir las proposiciones anteriores. Estos signos son:

^ “y” CONJUNTOR (expresa la relación conjuntiva)

Ú “ó” DISYUNTOR (expresa la disyuntiva)

→ “si _ entonces_” CONDICIONADOR O IMPLICADOR.

↔ “si solo si _ entonces _” DOBLE CONDICONADOR O DOBLE IMPLICADOR.

¬ “no” NEGADOR

- También podemos encontrar una serie de signos que son auxiliares de las proposiciones:

( ) [ ] … ( sirven para separar aquello que debe ir separado)

• Reglas de información de enunciados que serán como la gramática del lenguaje natural.

X, Y, Z son los enunciados.

¬X (unida a un negador).

X^Y (dos enunciados unidos mediante un conjuntor).

XÚY (dos enunciados unidos mediante un disyuntor).

X→Y (dos enunciados unidos mediante un condicionador o implicador).

X↔Y (dos enunciados unidos mediante un doble condicionador).

Ejemplo:

[(p^q) ^ (rÚs)] → [(pÚr) ^ (sÚt)]

El proceso por el cual se sustituye los elementos del lenguaje natural por los propios del formal se conocen como FORMALIZACIÓN.

- Ahora veremos una proposición y un enunciado:

PROPOSICIÓN ¬p

ENUNCIADO (p^q)

- Después de adquirir los conocimientos necesarios, empezamos a realizar ejemplos que nos sirvieran de práctica:

- Si no me haces caso, no vas mañana de excursión.

¬p → ¬q

ATENCIÓN! Debemos tener una cosa muy clara: TODA CONNECTIVA NECESITA DOS TÉRMINOS.

…. →p^r NO

Siempre debe de haber un antecesor (x) y un consecuente (y):

X →Y

- Todo esto sirve para pasar del lenguaje natural al formal.

En los últimos minutos de la clase salieron a la pizarra tres compañeras para poner ejemplos acerca de los nuevos conceptos que habíamos visto.

Si llueve entonces no podemos ir al campo. à la relación es condicional.

p → ¬q

Borra y escribe

Hay dos proposiciones a las que llamamos p y q, y también podemos observar una relación conjuntiva.

p^q

Borra y no escribas

p^¬q

Si nos vemos y tengo dinero te invito a merendar.

(p^q) r

- En este caso ponemos paréntesis, porque tienen que ocurrir los dos casos.

• Antes de finalizar la clase, el profesor nos mandó que hiciésemos uso ejercicios con relación a lo que hemos visto que se encuentran en esta página y de la cual también pongo el enlace.

http://diariodeclasedefilosofia.blogspot.com/2010/02/formalizacion.html

Aquí os he buscado esta imágen acerca de la lógica, para que al final de toda la teoría encontremos algo más animado.

Alba Rubiño Morro 1º Bachillerato D